• 曹龙韬,
• 曹文楷,
• 孟腾逸,
• 龚兰芳

• 中车株洲电力机车有限公司，株洲 412000

P-S-N曲线在疲劳试验研究和分析中占有极其重要的地位，是进行疲劳设计的基础，可为结构设计提供可靠的依据，为零部件的疲劳寿命估算提供评估方法。疲劳试验数据具有较大的分散性，为了使不同的材料试验能获得较一致的结果，同时保证试验结果的再现性和可比性，除了需要一个可靠的疲劳试验方法外，还需要一个科学统一的数据处理方法[1]。

笔者建立了S-N曲线的数学模型，确定采用升降法测试条件疲劳极限，用成组法测试高应力水平下的疲劳寿命，系统地阐述了P-S-N曲线的数据处理及验证方法，对疲劳试验测定P-S-N曲线及数据处理具有很好的参考意义。

1. 试验方法

1.1 试样的化学成分及力学性能

试验材料为6082-T651铝合金板材，T651表示固溶处理后再通过一定控制量的拉伸以消除应力，最后再进行人工时效，试板规格为250 mm×200 mm×10 mm（长度×宽度×高度）。对该铝合金板材进行化学成分分析，结果如表1所示。由表1可知：6082-T651铝合金板材的化学成分符合DIN EN 573-3：2019《铝和铝合金化学成分和半成品种类》的要求。

对6082-T651铝合金板材进行力学性能测试，结果如表2所示。由表2可知：其力学性能符合DIN EN 485-2：2013《锻铝和铝合金片材、带材和板材 第2部分:力学性能》的要求。

1.2 疲劳试样尺寸

按照GB/T 37616—2019《铝合金挤压型材轴向力控制疲劳试验方法》，沿板材纵向截取并加工成矩形截面疲劳试样，要求试样表面没有划痕、磕碰和腐蚀等损伤或缺陷。除试样端部外，侧面表面粗糙度Ra不大于0.32 μm。为避免疲劳裂纹出现棱边，需在试样棱边沿轴线方向倒半径为0.1~0.2 mm的圆角，疲劳试样尺寸如图1所示。

2. 试验设备及方法

采用高频疲劳试验机进行试验，试验机有标准循环计数装置，其同轴度不大于5%，动态测试力相对误差不超过±3%。

采用升降法测试疲劳极限，用成组法测试高应力水平下的疲劳寿命，加载方式为轴向力对循环加载（拉-压疲劳），应力比R=-1，疲劳寿命为107次，疲劳试验频率为75 Hz左右。

3.P-S-N测定原理

3.1S-N曲线数学模型

S-N曲线即疲劳曲线，表明应力与疲劳寿命之间的关系，其主要用于估算疲劳寿命和对基本疲劳性能的描述，其中S为应力，N为循环次数或寿命。将疲劳试验中获得的数据进行拟合，以循环数为横坐标，以与之对应的应力幅值或最大应力为纵坐标，即可获得S-N曲线[2]。

为了方便描述曲线的规律，主要有以下两种常用的S-N曲线数学模型。

（1）指数函数模型(Wohler公式）如式（1）所示。

式中：m和C是与材料、应力比、加载方式等相关的参数；σ为应力。

对式（1）两边同时取对数后，即得

在寿命取对数而应力不取对数的坐标图中，应力和寿命之间满足线性关系，通常称为半对数线性关系。

（2）幂函数模型如式（5）所示。

对式（5）两边同时取对数后，即得

在寿命和应力取对数的坐标图中，应力和寿命之间满足线性关系，通常称为双对数线性关系，1/m为S-N曲线的负斜率。

3.2 升降法测条件疲劳强度

对于母材而言，条件疲劳极限对应的循环次数通常选为107次，采用“升降法”进行测试，第一根试样选用较高的应力水平，随后试样的应力水平取决于前一根试样的试验结果。凡前一根试样未达到指定寿命发生破坏，则随后的一次试验在低一级的应力水平下进行；凡前一根试样达到指定寿命，则随后的一次试验在高一级的应力水平下进行，直至升降图“闭合”。闭合的条件是：根据有效数据点的终点为越出或破坏，可设想依次试验的某一应力水平还存在一个待定数据点，若该点与有效数据的起点位于同一应力水平，则表示闭合，相邻两个应力级间的应力增量通常选为预计疲劳极限的3%~5%。

中值疲劳强度可由子样的平均值来估计，中值疲劳强度估计量${\stackrel{?}{S}}_{50}$[3]为

式中：i为试样序号；$n_i^{*}$为对应应力$S_i^{*}$的对子个数；n*为对子总数；n为试样数。

子样标准差S*的计算式为

当对数疲劳寿命遵循正态分布时，可靠度p的对数安全寿命χp可表示为

式中：up为与可靠度相关的标准正态偏量；u和σ分别为母体分布均值和标准差。

对于任何指定的可靠度p，都可以确定出一个up，使得母体中有p的个体对数疲劳寿命大于$u+u_p\sigma$。但是因为真值u和σ一般是不知道的，只能由有限大小的子样来估计，例如用${\stackrel{?}{S}}_{50}$作为u的估计量和用βS*（β为标准差修正系数，可通过查表获得）作为σ的估计量。由${\stackrel{?}{S}}_{50}\text{+}{u}_p\beta S^{*}$估计出的对数安全寿命可能大于真值也可能小于真值，在真值左右摆动。倘若估计出的安全寿命比真值大，则偏于危险。为了使估计出的安全寿命不超过真值，就需要寻求一个系数k取代up，使得由${\stackrel{?}{S}}_{50}\text{+}{u}_p\beta S^{*}$估计出的对数安全寿命小于真值$u\text{+}{u}_p\sigma$的概率γ，这个γ就是安全寿命的置信度。若γ=95%，则意味着经过100次抽样后估计出的 100个对数安全寿命数值有95个都小于真值，这样用${\stackrel{?}{S}}_{50}+k\beta S^{*}$作为$u+u_p\sigma$的估计量就有了95%的把握。由此可见，p是对个体而言的，而置信度γ是对子样而言的。

单侧容限系数的计算式为

式中：uγ为与置信度相关的标准正态偏量。

对应一定存活率的安全疲劳极限[4]为

3.3 成组法测试高应力水平下的疲劳寿命

通过成组法试验，可获得在较高应力水平下材料的疲劳寿命，获得的疲劳寿命也符合正态分布。通常选取3~5级应力水平，每级应力水平测试4~8根试样，满足95%置信度时最少试样的个数要求，为此，还要计算每级应力下疲劳寿命的对数正态分布检验寿命。

成组法试验数据处理步骤[5]如下所述。

（1）首先由小到大按顺序排列同一应力水平下的疲劳寿命，并求相应的对数，计算存活率。

式中：P为存活率；n为试样数；i为顺序号。

以lgN为横坐标，P为纵坐标，将数据画在正态概率坐标纸上，如各数据点近似在一条直线上，则说明被抽样的母体遵循正态分布，用直线拟合各数据点所画出的图叫做P-N图。根据P-N图可以求出对应任意存活率的对数安全寿命lgNP。

（2）求出对数疲劳寿命的均值、标准差和变异系数。

式中：$\overline{\chi }$为平均值。

式中：s为标准差。

变异系数ν为

（3）可疑观测值的检验：计算根据相关$\left|\left({\chi }_i\text{-}{\overline{\chi }}_j\right)/s_{xi}\right|$疲劳试验参数表，获得与每组试样数相对应的起码值，并进行比较。如果实际数据小于起码值，则说明该数据良好，可以使用，否则应舍弃该数据。

（4）根据ν检验有效试样数是否满足最少试样数的相关条件。如果不够，则需补做成组法试验，直到有效试样数达到或超过最少试样数的要求为止。

（5）检验对数应力水平和对数疲劳寿命是否能够满足线性关系，并且检验疲劳寿命是否能够遵循对数正态分布，这主要通过计算γ确定。公式如下

令

为了保证回归方程能够反映随机变量的相关关系，相关系数应力满足

式中：γα与样本容量n的大小相关，n越大，可信程度越高，相关系数的起码值γα就可以小一些，γα还与置信水平有关，γα可以通过查表获得。

3.4P-S-N曲线拟合

采用幂函数表示P-S-N曲线方程[6]

式中：σp为对应于存活率p的应力；Np为对应于存活率p的疲劳寿命。

上式两边取对数，则有

P-S-N曲线在双对数坐标上为一直线。一般采用如下表达式

式中：l为应力水平数；lgNpj为对应于可靠度p的第j级应力水平的对数安全寿命；lgσpj为对应于可靠度p的第j级应力水平的对数。

成组法试验时，得到了几级应力下存活率为p所对应的几个疲劳寿命Np。升降法试验时，得到了存活率为p的一个疲劳强度，将以上几个点进行最小二乘法拟合，即可得到给定存活率为p的S-N曲线，进而便可得到P-S-N曲线。

4. 试验结果及数据处理

4.1 升降法测试条件疲劳强度

6082-T651铝合金板材的疲劳极限如表3所示。6082-T651铝合金板材疲劳试验升降图如图2所示。

测定应力比R=-1，循环次数N=107，存活率为50%和99%条件下的条件疲劳极限。通过式（7）计算出中值疲劳强度为73 MPa，标准差为1.155，通过查表得到置信度为95%，存活率为99%的单侧容限系数为-4.595，标准差修正系数为1.042，通过式（9）计算出的条件疲劳强度为67.46 MPa。

4.2 成组法测试高应力水平下的疲劳寿命

6082-T651铝合金板材成组法疲劳试验数据如表4所示，线性相关性验证如表5所示。由表4可知：可疑数据起码值通过查表取1.73，检验数据值小于起码值,说明该数据良好。根据变异系数ν检验有效试样数：6组试样检验值要求小于0.047 6，计算结果均符合要求，说明满足95%置信度最少试样数的相关条件。

经过计算，Lxx=1.725 4；Lyy=0.044 0；Lxy=-0.272 5；|γ|=0.988 7≥0.878。

通过查表，置信度为95%条件下的起码值取0.878，计算结果表明：对数应力水平与对数寿命之间的相关性好，可以采用最小二乘法进行拟合。

4.3 拟合P-S-N曲线

按照幂函数模型${\sigma }^{m}N\text{=}C$进行拟合，在寿命和应力都取对数的坐标图中，采用最小二乘法做线性回归分析，拟合结果如表6所示。绘制中值S-N曲线和存活率为99%的P-S-N曲线,如图3所示。

5. 结论

（1）由于疲劳试验数据的分散性大，采用升降法测试条件疲劳强度，通过查找单侧容限系数、标准差修正系数，计算出不同存活率和置信度的条件疲劳极限。

（2）采用成组法测试高应力水平下的疲劳寿命，需要进行可疑观测值的检验，确定有效试样数是否满足最少试样数的相关条件和是否能够满足线性关系的验证，再计算不同存活率下的疲劳寿命。

（3）用最小二乘拟合升降法和成组法得到的几个点，即可得到给定存活率的S-N曲线，进而便可绘制P-S-N曲线。

来源--材料与测试网