李 凯,蒋桥红,王 飞 (上海材料研究所,上海 200437)

摘 要:借助计算机模拟研究了应力台阶d 与疲劳强度标准偏差σ 的比d/σ 、应力台阶数i及 试样数量N 对升降法测试疲劳强度均值μ 和标准偏差σ的影响。结果表明:升降法测试疲劳强度 均值的可靠度高于测试标准偏差的,同一试验条件下进行多次重复测试可以提高试验结果的可靠 度。d/σ>3时,升降图难以满足D>0.3。标准偏差估计值σ ︿ 的均值和标准偏差均与升降图应力 台阶数i相关,升降法试验中应保证i为3或4。提高试样数量可以减小(μ,σ)的估计值(μ ︿,σ ︿)的 分散性。

关键词:升降法;疲劳强度;极大似然估计;均值;标准偏差 中图分类号:TB302.3 文献标志码:A 文章编号:1001-4012(2021)03-0007-07

工程领域将材料经1×10 7 循环周次交变载荷 作用而不发生破坏对应的应力称为材料的疲劳强 度。测试金属材料疲劳强度的最佳方法是升降法, 又叫台阶法[1-2]。升降法属于序贯试验的一种,升降 是指在试验中第n+1次试验应力水平根据第n 次 的试验结果增加或降低一个台阶。升降法最早于 1943年由宾夕法尼亚炸药所应用于炸药的感度测 量。1948年 DIXON WJ和 MOOD A M [3]给出了 升降法中一个用于计算疲劳强度均值μ 与标准偏 差σ的简 化 式,并 指 出 升 降 法 可 以 作 为 一 种 估 计 50%分位数的数理统计方法,在多个领域都有很大 的应用前景。 升降法的基本原理是假设待测物理量服从正态 分布 N(μ,σ),然后根据极大似然估计给出(μ,σ)的 极大似然估计量(μ ︿,σ ︿)。DIXON WJ和 MOOD A M 近似式的方法给出了在一定限制条件下似然函数 一个精度较高的经验解,使升降法摆脱了繁复的似然 函数极值计算而被广泛应用。使用 DIXON WJ和 MOODA M 近似式的升降法(也称为传统升降法), 其特点是试验数量需要满足 N 大于50,且应力台阶 d 与标准偏差σ 的比值满足0.5<d/σ<2。1965年 DIXON WJ [4]又给出了试样数量 N 小于6时似然函 数的另外一个经验解,相比于传统升降法,该方法对 试样数量的需求大幅度减少,因此该方法被称为小子 样升 降 法。 需 要 指 出 的 是,现 行 标 准 如 GB/T 24176-2009《金属材料 疲劳试验 数据统计方案与分 析 方 法》、ISO 12107:2012 Metallic Materials— Fatigue Testing—Statistical Planning and AnalysisofData 等建议解释性研究的试样数量N 应不小于15,相比于传统升降法试样数量减少了近 70%,也被部分作者称为小子样升降法。升降法自 应用以来,在测试炸药敏感度、药物50%致死量及 疲劳强度等方面取得了良好进展。随着升降法应用 的日益深入,研究人员发现升降法对标准偏差的估 计存在一定误差,对升降法误差的分析成为一个无 法回避的问题。闫雪梅等[5]认为ISO12107:2012 和 GB/T24176-2009中的标准偏差估计式为经验 式,并建议将其更改为σ ︿ y =1.620d D+0.04 ,以获 得更准确的测试结果,其中,σ ︿ y 为疲劳强度标准偏 差的估计值,D 为依据各应力水平下试样失效或未 失效统计数量计算出的系数。MULLERC 等[6]则 采用4种方法对升降法的测试结果进行了分析,发 现升降法对均值的估计是可信的,但当试样数量较 少,如小于20时,不应采用升降法来估计标准偏差, 而应根据以往的经验或查找其他文献数据。考虑到 升降 法 测 试 过 程 中 有 近 一 半 试 样 未 发 生 失 效, ROUEV 等[7]则研究了利用未发生失效的试样进 行试验以获得可靠度更高的数据。很多研究人员则 是直接使用升降法,而不考虑升降法自身的可靠性。 基于现有的研究成果,笔者借助计算机模拟分析了导 致升降法测试金属材料疲劳强度的均值与标准偏差 时产生误差的原因及这些原因与误差之间的关系。

1 试验方法

1.1 升降法

在一定应力水平下试样经过1×10 7 循环而不 发生破坏,则认为试样在该应力水平下有无限的寿 命,该应力水平称为试样的疲劳强度。升降法测试 金属材料疲劳强度的流程如图1所示。 以材料预估疲劳强度的5%作为应力台阶d, 以材料抗拉强度的70%作为初始应力水平y0。首先在y0 下进行试验,若该应力水平下试样疲劳寿 命低于1×10 7 循环周次,则下一个试样在应力水平 y0-d 下进行,反之下一个试样应力水平为y0+d。 后续试样应力水平都由前一个试样寿命是否超过 1×10 7 循环周次来确定。如果第n 个试样寿命低 于1×10 7 循环周次发生破坏,则第n+1个试样则 降低一级应力水平,否则增加一个应力水平,直到试 验结束。升降法以第一次发生在相邻应力水平试样 出现相反结果开始统计数据,可以避免初始应力水 平选取不当对试验结果产生影响。同时升降法要求 升降图闭合,即假设升降法在第 m 次试验结束,若 继续做试验,则下一个试样应力水平应当等于升降 法计数开始时的应力水平,升降图闭合能保证整个 试验的应力水平都集中在疲劳强度附近。 试验结束后,将应力水平 S 按照从 小 到 大 排 列,即S0<S1<S2…Si,i为应力台阶数,则升降法 给出的正态分布 N(μ,σ)的参数估计值为 μ ︿ =S0 +d· A C ± 1 2 σ ︿ =1.620d D +0.029 ?? ?? ?? (1) 式中:A,C 为依据各应力水平下试样失效或未失效 统计数量计算出的系数,A=∑ifi,C=∑fi;D= BC -A 2 C 2 ,B =∑i 2fi;fi 为在第Si 级应力水平上 试样寿命超出或低于1×10 7 循环周次的数量。

当循环周次超过1×10 7 时,式(1)中取+ 1 2 ,当 循环周次低于1×10 7 时取- 1 2 。

1.2 极大似然估计

升降法的统计学依据是极大似然估计。一般情 况下给定疲劳寿命 N 下的疲劳强度y 被认为是自 由变量,并且按照正态分布表示为 P y =∫ y -肀 1 2πσ e - 1 2 (x-μ) σ 2 y dx (2) 式中:P(y)为 在 疲 劳 强 度 y 下 试 样 失 效 的 累 计 概率。 在应力水平Si =S0 +i·d 下,试样寿命低于 1×10 7 循环周次的概率为pi,超出1×10 7 循环周 次的概率为qi,则有 pi =∫ S0+i·d -肀 1 2πσ e - 1 2 (x-μ) σ 2 y dx (3) qi =1-pi =∫ +肀 S0+i·d 1 2πσ e - 1 2 (x-μ) σ 2 y dx (4) 式中:x 为积分变量。 假设一条升降法的试验数据是来自总体y ~ N(μ,σ)的观察值,第Si 级应力水平上有ni 个试样 寿命低于 1×10 7 循 环 周 次,mi 个 试 样 寿 命 超 过 1×10 7 循环周次,则似然函数为 L μ,σ =∏iC ni ni+mi·p ni i ·q mi i (5) 若 L μ ︿,σ ︿ =maxL μ,σ (6) 则称 μ ︿,σ ︿ 为 μ,σ 的极大似然估计。 对式(6)求偏导为 ∂lnL μ,σ ∂μ =0 ∂lnL μ,σ ∂σ =0 ?? ?? ?? (7) 当偏导数等于0时,函数可能取得极值,因此求 极大似然估计等价于求似然函数的极大值点。一般 情况下,当式(7)所示的似然方程组解唯一且不在参 数取值范围的边界上,即可认为其解是待求的极大 似然估计值。 式(1)是 DIXON WJ给出的满足0.5<d/σ< 2,D>0.3情况下似然方程组的一个近似解。 根据上述推导过程,可以发现升降法测试疲劳 强度的均值与标准偏差出现误差的原因主要有以下 3个。 (1)升降法的母体是 y|N=1×10 7 ,即1×10 7 循环 周 次 下 的 疲 劳 强 度。 升 降 法 的 样 本 是 y|N>1×10 7或N<1×10 7 ,升降法中几乎没有寿命刚好 为1×10 7 循环周次的试样。因为样本并非来自于 母体,所以不能直接通过样本的均值与标准偏差来 估计母体的。 (2)DIXON WJ指出传统升降法的适用范围 为0.5<d/σ<2,D>0.3,一个明显的问题是,试验 前需要根据σ真值来确定升降台阶d,而σ 的真值 是无法获得的,因此由式(2)可知,σ 的估计值σ ︿ 会 受到d 选取的影响。 (3)无论是小子样升降法还是传统升降法,其 统计学基础都是极大似然估计,极大似然估计在样 本量较少 时 偏 差 较 大,这 种 情 况 下 应 采 用 贝 叶 斯 估计[8]。 因此讨论升降法测试疲劳强度的均值与标准偏 差的误差,应当重点关注d/σ、试样数量 N 及应力 台阶数i。

1.3 计算机模拟

即使通过大量试验,也只能获得材料疲劳强度 的一个统计学结果,而无法获得真值。采用升降法 测试疲劳寿命为1×10 7 循环周次的30个试样需要 一台工作频率为50Hz的疲劳试验机工作大约2个 月,因此,借助计算机模拟研究升降法测试疲劳强度 是一个高效、便捷的方法。 Python是一种开源的计算机编程语言,笔者采 用 Python中的numpy和scipy两个库。首先输入 试样 分 布 的 真 值 (μ,σ),为 不 失 一 般 性,令 μ=500MPa,σ=25 MPa,然后由 numpy.randint. randn.normal(μ,σ)(从正态分布返回一个或多个样 本)函数生成一个服从正态分布 N μ,σ 的样本。 若该样本高于其所在的应力水平,则认为试样在该 应力水平下寿命应超过1×10 7 循环周次,否则低于 1×10 7 循环周次。程序流程与升降法测试流程保 持一 致。ISO12107:2012 和 GB/T24176-2009 要求可靠性试验至少需要30个试样,因此在分析 d/σ与误差 之 间 的 关 系 时 选 择 试 样 数 量 N =30, d/σ=0.1,0.2,0.3,…,5.0,每个d/σ 下进行1000 次模拟试验。升降图闭合要求试样数量为偶数,试 样数量 N 不大于4时,升降图无法满足 D 大于0.3 的要求,因此研究试样数量 N 与升降法测试误差之 间的关系时,取N=6,8,10,…,100,每个试样数量下进行1000次模拟试验。

2 试验结果及讨论

2.1 μ ︿,σ ︿ 与d/σ 之间的关系

2.1.1 μ ︿ 与d/σ之间的关系 升降法中若d/σ选取的过小,将容易导致应力 台阶数i过多,在有限试样数量内升降图难以闭合。 图2为μ=500MPa,σ=25MPa,d/σ=0.1,N=30 时的一个模拟升降图,此时i=6,图中存在多个试 样寿命连续低于1×10 7 循环周次情况,升降图没有 闭合造成试验失败。升降图中“Ο”代表试样寿命超 过1×10 7 循环周次,“×”代表试样寿命低于1×10 7 循环周次。图3为d/σ 过大造成D 小于0.3的一 个模 拟 升 降 图,其 中 μ=500 MPa,σ=25 MPa, d/σ=4,N=30。可见i=2,试样在3个应力水平 间波动。

图4为模拟试验成功率与d/σ 之间的关系图。 当d/σ为1时,试验成功率最高;当d/σ 小于1时, 试验失败的主要原因是升降图不闭合;当d/σ 大于 3时,试验成功率几乎为 0,模 拟 试 验 中 也 较 少 有 d/σ大于3的数据点,试验失败的主要原因是升降 图不满足D 大于0.3。图5为μ 的估计值μ ︿ 与d/σ 图4 模拟试验成功率与d/σ 的关系图 Fig 4 Diagramofrelationshipbetweensuccessrateof simulationtestandd σ 图5 μ ︿ 与d/σ 的关系图 Fig 5 Diagramofrelationshipbetweenμ ︿andd σ 之间的关系图。可以看出随d/σ 增大,μ 的估计值 μ ︿ 的均值没有明显变化,μ ︿ 的分散性,即标准偏差增 大。要想获得较为满意的μ ︿ 则需要多次进行升降 法测试取平均值。 2.1.2 σ ︿ 与d/σ之间的关系 σ的估计值σ ︿ 与d/σ之间的关系比μ ︿ 与d/σ 之 间的更复杂。模拟试验结果表明,当0.5<d/σ<2 时,升降图i取值为3~9。μ ︿ 与d/σ 之间的关系不 受i的影响,但σ ︿ 与d/σ 之间的关系则随i 的变化 而变化,如图6所示。当i为3或4时,σ 较接近真 值,整体而言,σ的估计值σ ︿ 与d/σ正相关,且随d/σ 增大,σ ︿ 的分散性也增大。当d/σ=1.3时,σ ︿ 与真值 σ最接近。因此,研究 μ ︿,σ ︿ 与试样数量 N 之间的 关系时令d/σ=1.3。

2.2 μ ︿,σ ︿ 与试样数量N 之间的关系

2.2.1 μ ︿ 与试样数量N 之间的关系 图7为μ ︿ 与试样数量N 之间的关系图,可以看 出μ ︿ 分布在真实值μ 为500MPa附近,增加试样数 量,可以降低μ ︿ 的分散性。μ ︿ 的标准偏差与试样数 量N 之间的关系如图8所示,当N 为20时,μ ︿ 的标 准 偏 差 为8.1MPa,当N 为30时 ,μ ︿的 标 准 偏 差 为 6.6MPa。当 N 大于30时,继续增加试样数量不能 显著提高μ ︿ 的测试精度,此时应当在相同试验条件 下进行多组升降法测试。 2.2.2 σ ︿ 与试样数量N 之间的关系 σ ︿ 与试样数量 N 之间的关系同样与升降图的 应力台阶数i有关。每种试样数量下进行1000次 模拟试验,应力台阶数量i 取3,4,5,6。图9为不 同i时σ ︿ 与试样数量 N 之间的关系图,整体而言, 升降法测得的σ ︿ 的均值是偏大的,随着试样数量增 加,σ ︿ 的均值缓慢降低。

3 试验验证

文献[9]采 用 升 降 法 与 成 组 法 测 试 了 轴 承 用 20CrMoH 钢的疲劳曲线,升降图如图 10 所示,根 据 Parabola(抛物线)模型拟合的50%失效概率的 疲劳曲线如图11所示。 升降法中d=10 MPa,i=3,D =0.36,d/σ= 1.59,升降图闭合,满足升降法条件。按照式(1)计 算20CrMoH 钢的μ ︿ =281.25 MPa,σ ︿ =6.29 MPa。 μ 的估计值μ ︿ 与 Parabola模型拟合结果一致,说明 升降 法 对 均 值 的 估 计 较 准 确。20CrMoH 钢 在 1×10 6 循环周次附近的疲劳强度如表 1 所示。可 知4个试样的标准偏差为 17.32 MPa,通常来说, 1×10 7 循环周次下的标准偏差应大于1×10 6 循环 周次的。因此很难判定升降法测得20CrMoH 钢标 准偏差σ ︿ =6.29MPa是可靠的。

4 结论

(1)升降法测试疲劳强度均值的可靠性高于测试疲劳强度标准偏差的。 (2)当应力台阶d 与标准偏差σ的比值d/σ大 于3时,升降图难以满足D 大于0.3。 (3)μ ︿ 的均值与d/σ 和 N 不显著相关,μ ︿ 的标 准偏差随d/σ增大而增大,随 N 增大而减小。 (4)σ ︿ 的均值随d/σ增大而增大,随 N 增大而 减小,σ ︿ 的标准偏差随d/σ增大而增大。 (5)σ ︿ 的均值与标准偏差均与升降图应力台阶 数i相关,实际试验中应尽量保证i为3或4。 (6)当有足够多试样时,在相同试验条件下进 行多组升降法测量,效果优于全部试样测量一条升 降曲线。

来源：材料与测试网